在数学与科学计算的复杂领域中，偏微分方程反问题长期被视为极具挑战性的难题。近日，美国宾夕法尼亚大学工程学院的研究团队取得重要突破，提出一种借助人工智能技术求解此类问题的创新方法，为相关研究开辟了全新路径，相关成果已发表于权威学术期刊《机器学习研究汇刊》。
微分方程作为描述变化的核心数学工具，在众多领域发挥着关键作用。它能够精准刻画人口增长、热量扩散以及化学反应随时间的发展趋势。而偏微分方程则更进一步，可同时处理变量在空间和时间上的动态变化，像天气系统的演变、材料内部的热传导过程，以及DNA在细胞中的组织形式等复杂现象，都能通过偏微分方程进行描述。
偏微分方程反问题与常规问题有所不同。它并非依据已知规则预测系统的发展走向，而是从实际观测到的结果出发，反向推导产生这些结果的隐藏参数、作用力或动力学机制。研究团队形象地将这一过程比作“通过观察池塘里的涟漪，反推石子的落点”。然而，在实际计算过程中，这类问题对稳定性和算力的要求极为苛刻。特别是当涉及高阶导数和存在噪声数据时，传统方法很难在保证计算精度的同时兼顾效率。
面对这一困境，研究团队没有选择单纯依靠增加算力，而是从数学方法的角度寻求突破。他们引入了源于20世纪40年代“平滑子”概念的“平滑子层”技术。这一创新方法在神经网络中先对数据进行平滑处理，再进行求导计算，有效避免了传统“递归自动微分”方法在多次求导过程中不断放大噪声的问题。
实际应用中，这一方法展现出显著优势。以染色质研究为例，染色质是DNA在细胞核中的折叠形态，其结构尺度仅约100纳米。这种结构是否“开放”直接决定了基因能否被访问和表达，进而影响细胞功能、衰老以及疾病的发生发展。借助“平滑子层”技术，研究团队成功反推出驱动染色质结构变化的表观遗传反应速率，即调控基因活性的化学变化速度，将研究从对结构的静态观察推进到对动态演化机制的深入刻画。
值得注意的是，“平滑子层”的应用潜力不仅局限于生物学领域。在材料科学、流体力学等多个涉及机器学习的领域，同样面临着高阶方程与噪声数据带来的挑战。这一创新框架有望为这些领域提供更稳定、高效的参数反演方法，推动相关研究的进一步发展。
