著名数学家陶哲轩在探索人工智能与数学研究结合方面迈出了重要一步。作为菲尔兹奖得主，他近期尝试使用ChatGPT-5 Pro处理一个自己并不熟悉的开放问题——曲率有界的球面体积下界问题，并详细记录了AI在研究过程中发挥的作用和存在的局限。
这个问题探讨的是：在三维欧几里得空间中，如果一个光滑沉浸球面的两个主曲率绝对值都不超过1，那么它所包围的体积是否至少不小于单位圆球的体积。陶哲轩将这个问题分为微扰区和非微扰区两个部分进行研究。由于他对该问题的几何直觉有限，且手头分析工具主要适用于微扰情形，他决定将研究重点放在微扰区。
考虑到此前有评论指出该问题的凸面情形过于简单，陶哲轩将注意力转向更具一般性的星形对象。他设想通过积分形式表达问题的假设与结论，并借助积分不等式推进证明。由于微分几何知识已较为生疏，他请AI进行相关计算。出乎意料的是，AI不仅准确完成了所有计算，还给出了星形情形下的完整证明，利用了斯托克斯定理、Willmore不等式等熟悉工具，也引入了Minkowski第一积分公式等新方法。
AI的证明过程简洁到只需一行推导，这令陶哲轩感到震撼。他亲自验证了证明步骤，发现AI还提供了两个独立且令人信服的证明版本：一个基于散度定理，另一个采用流方法。验证过程中，他发现网上关于Minkowski公式的完整证明过程很少，AI的补充显得尤为珍贵。进一步分析后，他发现标准圆球是唯一的极小化解，且曲面偏离圆球形状时，包围体积反而增大。
随后，陶哲轩让AI分析“almost round”的情形，即平均曲率接近1的状况。AI准确推导出：如果平均曲率足够接近1，通过椭圆型强制性估计可以证明定理成立。更令人惊讶的是，AI指出这一结论并非新发现，因为平均曲率接近1的假设本身就隐含了星形性条件。
然而，AI并非完美无缺。在估计微扰非线性项时，它出现了轻微误差，类似于非线性偏微分方程专家在初步推导时可能犯下的错误。陶哲轩认为，这更像是PDE理论中的小数据情形，问题在小范围内可控，但大数据情形仍未解决。他推测整体上可能具有足够的紧致性，可以将问题转化为有限但庞大的数值PDE计算问题。AI认可这一想法，并提供了一个可行的数值方案轮廓，但这种方法本质上是一种暴力搜索，缺乏理论启发性。
在小尺度上，AI在具体计算、推导和验证等任务中表现出色，提供了实用且文献中确有记载的证明。但随着研究推进，陶哲轩意识到，若要进一步取得突破，需要微分几何专家介入。于是，他将关键推理与结果整理成文章，发布在MathOverflow上，吸引更多专家讨论。
发布后，他发现原问题的二维版本早已被解决，即著名的Pestov–Ionin定理。这一发现让他意识到，问题的难点不在于微小偏差的分析，而在于理解极端非圆的几何形态。他原本假设值得关注的主要是nearly round的集合，但图中的例子展示了另一类极端情形：一些形状相对圆润的部分被细长的管状结构连接，形成整体上远离圆球但仍满足条件的曲面。
对比新的直觉与之前的研究策略，陶哲轩发现自己犯了一个关键性假设错误：他默认沉浸球面的内径是有界的，并在强制性分析中隐含使用了这一前提。事实上，他设想的数值方法也许能在给定直径范围内求解问题，但对于一般情形则无能为力。值得注意的是，AI在这一阶段并未指出这一漏洞，反而表现出过度认同，几乎赞同他提出的所有思路。因此，在中尺度层面，即整体策略制定方面，AI的帮助并不大。
这次反思让陶哲轩对问题的核心难点有了更清晰的认识：真正需要应对的是那些极度偏离圆形的曲面，它们往往包含细长的圆柱、薄片或其他瘦长结构，在体积上贡献甚微，却能显著拉伸几何结构。他意识到，原先依赖的方法在这里并不适用。
进一步的阅读使他了解到，星形情形实际上是问题中最容易的特殊情形。该部分的二维版本曾在Pankrashkin的论文中出现，而三维的替代性处理方式则出现在Qiu的最新论文中。
最终，陶哲轩认为这个问题超出了他现有数学工具箱的能力范围，目前依然是一个开放问题。不过，从大尺度角度来看，AI的使用仍然是有益的。它让他能更快速地探索、验证并舍弃不合适的思路，同时也让他学到了若干此前并不了解的微分几何知识。他还将这次经历与早前的另一场实验进行了比较：在那次实验中，他对问题的结果已有较强直觉，因此更容易判断AI的正确性；而在这次研究中，AI的表现更具创造性，但也让人更难以信任和引导其朝有效方向推进。
他最后指出，在自己专业领域之外与AI协作确实有探索价值，但必须保持谨慎与情境意识，否则很容易被似是而非的直觉所误导。
